Sur les fondements de la théorie des ensembles transfinis est la traduction française (par François Marotte, en 1899) de deux articles publiés en allemand dans les Mathematische Annalen, respectivement  en 1895 et 1897. Cantor, après avoir révolutionné les mathématiques en ayant prouvé l'existence d'ensembles non dénombrables et — de ce fait — ouvert la porte à des infinis infiniment « plus grands » que d'autres, formalise ici le point d'orgue de son travail sur ce sujet, à savoir une « arithmétique » sur les ensembles infinis, prolongeant la notion de nombre fini usuel à des « nombres » infinis : les ensembles (ou nombres) transfinis.

Dans cette réédition, Fernando Zalamea, grâce à sa préface et à ses notes, permet de restituer avec justesse toute la fraîcheur et l'inventivité de Cantor, laquelle à parfois été quelque peu « lissée » au fur et à mesure que ses théories ont été absorbées et intégrées à l'édifice mathématique au cours du siècle suivant.

SOMMAIRE

1er Article
(Mathematische Annalen, Bd XLVI, p. 481-512.)

- La notion de puissance ou le nombre cardinal.
- Comparaison des puissances.
- L'addition et la multiplication des puissances.
- L'exponentiation des puissances.
- Les nombres cardinaux finis.
- Le plus petit nombre cardinal transfini aleph-zéro.
- Les types ordinaux (Ordnungstypen) des ensembles simplement ordonnés.
- Addition et multiplication des types.
- Le type de l'ensemble R de tous les nombres rationnels, plus grands que 0 et plus petits que 1, rangés par grandeur croissante.
- Les séries fondamentales contenues dans les ensembles ordonnés transfinis.
- Le type θ du continu linéaire X.

2e Article
(Mathematische Annalen, Bd XLIX, p.207-246.)

- Les segments des ensembles bien ordonnés.
- Les nombres ordinaux des ensembles bien ordonnés.
- Les nombres de la deuxième classe numérique Z(אγ).
- La puissance de la deuxième classe numérique est égale au deuxième nombre cardinal transfini alef-un.
- L'exponentielle γα dans le domaine de la deuxième classe numérique.
- La forme normale des nombres de la deuxième classe.
- Les nombres de la deuxième classe numérique, qui sont égaux à leur degré.